대한항공 티켓을 파트너사 (델타)에서 마일리지 티켓으로 구매 시 본인 카드 문제

안녕하세요, 부모님의 인천-도쿄 편도를 델타 공홈에서 델타 리워드를 이용해 구매했습니다. 파트너사 발권으로 실제 운행은 대한항공이고요, 마일리지 티켓이지만 유료할증료 등 소액을 카드 결제 했습니다. 그런데 생각해보니까 대한항공은 뭐 본인카드로 티켓 결제를 해야하느니 뭐가 까다로웠던게 기억이 나는데요... 제 경우에는 팩터가 여러가지로 많아서 구글링을 해서 찾아봐도 어떻게 적용이 되는지 잘 모르겠네요... 

- 델타 공홈에서 구매한 델타 마일리지 티켓

- 실제 운행은 대한항공

- 미국발행 카드로 유류할증료 소액 결제

- 카드 명의는 부모님 명의로 되어있음 (AU카드)

- 남편의 비지니스카드라 남편의 이름이 카드명의 아래에 병기되어있음. 즉 카드에 이름이 두개

- 한국에 계신 부모님이 실물 카드를 현재 가지고는 있음. 즉 요청할시 인천공항에서 보여줄수는 있음 

이 경우에도 인천공항에서 체크인할 때 문제가 될까요?